Numerik1:04

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=04. Übung zur Vorlesung Numerik 1 (WS 2006/2007)=

Aufgabe 1
Die Runge-Kutta-Verfahren werden sehr oft mittels eine Tableau beschrieben. Die Tabelle

$$ \begin{matrix} 0 &|&   &   & \\		 \frac{1}{2}  &|&  \frac{1}{2}   &  &  \\ 1&|& -1  & 2  &  \\		- &-&-  &-  &-\\		   &|&\frac{1}{6}  &  \frac{4}{6}  & \frac{1}{6} \end{matrix} \quad , $$

beschreibt das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 3.

Erklären Sie, warum das Verfahren auch Simpsonregel gennant wird. Beschreiben Sie für das Runge-Kutta-Verfahren dritter Ordnung das Gebiet der absoluten Stabilität.

Aufgabe 2
Die Lösung von

$$ y'=\sqrt{y} \,, \quad y(0)=0 $$

ist nicht eindeutig. Bestimmen Sie möglichst viele Lösungen des Anfangswertproblems (es gibt unendlich viele). Vergleichen Sie die numerischen Lösungen, die man durch das Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnung und die Trapezmethode erhält.

Aufgabe 3
Für die Lösung dieser Aufgabe verwenden Sie ein beliebiges Programm, das die gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme numerisch löst.

Rechnen Sie das Beispiel von Lorenz

$${\frac {d}{dt}}x \left( t \right) =10\, \left( y \left( t \right) -x \left( t \right) \right) \,, \quad x(0) = -8 \,;$$

$${\frac {d}{dt}}y \left( t \right) =20 \, x \left( t \right) -y \left( t \right) -x \left( t \right) z \left( t \right) \,, \quad y(0) = -8 \,;$$

$${\frac {d}{dt}}z \left( t \right) =x \left( t \right) y \left( t \right) -\frac{8}{3} z \left( t \right) \,, \quad z(0) = r \,,$$

wobei r eine beliebige Konstante ist.

Wählen Sie r=30. Finden Sie für t=10 eine Approximation, die mit der exakten Lösung auf 3 Stellen übereinstimmt. Begründen Sie, warum es sich wirklich um eine Approximation dieser Genauigkeit handelt!

Wählen Sie jetzt r=30.01 und versuchen Sie wiederum eine gute Approximation für die Werte

$$(x(10),y(10),z(10))$$

zu finden.