Παράγωγος

Παράγωγος

Derivative

Είναι ένας θεμελιώδης μαθηματικός τελεστής.

Συμβολισμός Leibniz
Σύμφωνα με τον συμβολισμό του Leibniz η παράγωγος μίας συνάρτησης (function) f(x) συμβολίζεται ως εξής:


 * $$\frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{dx}$$

If we have a variable representing a function, for example if we set:


 * $$y = f\left(x\right)$$

then we can write the derivative as:


 * $$\frac{dy}{dx}$$

Συμβολισμός Lagrange
Σύμφωνα με τον συμβολισμό του Lagrange η παράγωγος μίας συνάρτησης (function) f(x) συμβολίζεται με ένα τόνο:


 * $$\frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{dx} = f'\left(x\right)$$

Συμβολισμός Newton
Σύμφωνα με τον συμβολισμό του [[Newton η παράγωγος μίας συνάρτησης (function) f(x) συμβολίζεται με μία τελεία:


 * $$\frac{dx}{dt} = \dot{x}$$

υψηλόβαθμοι Παράγωγοι
For higher derivatives, we express them as follows:


 * $$\frac{d^n\left(f\left(x\right)\right)}{dx^n}$$ or $$\frac{d^ny}{dx^n}$$

denotes the nth derivative of f(x) or y respectively. Historically, this came from the fact that, for example, the 3rd derivative is:


 * $$\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f\left(x\right)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx}$$

which we can loosely write as:


 * $$\left(\frac{d}{dx}\right)^3 \left(f\left(x\right)\right) =

\frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \left(f\left(x\right)\right)$$

Now drop the brackets and we have:


 * $$\frac{d^3}{dx^3}\left(f\left(x\right)\right)\ \mbox{or}\ \frac{d^3y}{dx^3}$$

Κανόνας αλυσίδας
The chain rule and integration by substitution rules are especially easy to express here, because the "d" terms appear to cancel:


 * $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$$ etc.

and:


 * $$\int y \, dx = \int y \frac{dx}{du} \, du.$$