Teorema del punto fijo de Brouwer

= Conceptos preliminares =

Sea $$A$$ un conjunto no vacío, y $$f:A \to A$$ una función.


 * Diremos que $$\bar{x} \in A$$ es un punto fijo de $$f$$ ssi $$f(\bar{x})=\bar{x}$$

= Enunciado =

Sea $$a,b$$ números reales con $$a<b$$, y sea $$f:\lbrack a,b\rbrack \to \lbrack a,b\rbrack$$ una función continua. Entonces $$f$$ posee al menos un punto fijo.

= Ruta propuesta para la demostración =


 * Considere la función auxiliar $$g\lbrack a,b\rbrack \to \lbrack a,b\rbrack$$ dada por $$ g(x) = f(x)-x $$. Argumente por qué $$g$$ es una función continua
 * Muestre que $$g(a) \geq 0$$ y que $$g(b) \leq 0$$
 * Separe ahora por casos
 * Si $$g(a)=0$$ o $$g(b)=0$$, demuestre que el teorema es cierto
 * Por el contrario, si $$g(a) \neq 0$$ y $$g(b) \neq 0$$, argumente por qué $$g(a)$$ y $$g(b)$$ tienen signos opuestos. Concluya utilizando algún teorema para funciones continuas