Συνάρτηση

Συνάρτηση

Function

Στα μαθηματικά συνάρτηση ή απεικόνιση ορίζεται ως μία σχέση μεταξύ δυο συνόλων τέτοια ώστε κάθε στοιχείο του ενός συνόλου (πεδίο ορισμού) σχετίζεται με ένα μοναδικό (αλλά πιθανώς ίδιο) στοιχείο ενός άλλου συνόλου (σύνολο τιμών). Στη παραγματικότητα πρόκειται για μία Μεταβλητή της οποίας η τιμή εξαρτάται από τις τιμές μιας ή περισσοτέρων άλλων μεταβλητών.

Για παράδειγμα αν x και y είναι δύο μεταβλητές και η τιμή του y εξαρτάται από εκείνη του x, τότε λέγέται πως η (μεταβλητή) y είναι συνάρτηση του x. Τούτο δε εκφράζεται συμβολικά ως y = φ(x). Στη προκειμένη περίπτωση η μεταβλητή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή.

Είδη συναρτήσεων

 * 1) Μονοσήμαντη συνάρτηση ονομάζεται η συνάρτηση εκείνη στην οποία κάθε μία τιμή του x αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή του y, (π.χ. η συνάρτηση y = 3x είναι μονοσήμαντη αφού σε κάθε τιμή του x αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του y)
 * 2) Πολυσήμαντη συνάρτηση ονομάζεται η συνάρτηση εκείνη στην οποία κάθε μία τιμή του x αντιστοιχεί σε περισσότερες της μιας τιμές του y, (π.χ. η συνάρτηση ψ=&radic;χ είναι πολυσήμαντη  αφού σε κάθε τιμή του χ αντιστοιχούν δύο τιμές του y).
 * 3) Συνεχής συνάρτηση ονομάζεται η συνάρτηση εκείνη που η διαφορά δύο τιμών της, που προκύπτουν από τη μεταβολή των ανεξαρτήτων μεταβλητών της, μπορεί να καταστεί μικρότερη παντός θετικού αριθμού.
 * 4) Ασυνεχής συνάρτηση ονομάζεται το αντίθετο της συνεχούς.
 * 5) Αύξουσα συνάρτηση ονομάζεται η συνάρτηση ανεξάρτητης μεταβλητής όταν αυξανομένης της τιμής της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνει και η τιμή της συνάρτησης αυτής.
 * 6) Φθίνουσα συνάρτηση ονομάζεται το αντίθετο της αύξουσας συνάρτησης.
 * 7) Ακεραία συνάρτηση ονομάζεται μια συνάρτηση όταν αυτή αποτελεί ακέραιο πολυώνυμο των ανεξαρτήτων μεταβλητών, και τέλος
 * 8) Ρητή συνάρτηση ονομάζεται εκείνη που αποτελεί πηλίκο ακεραίων συναρτήσεων.

Αναλύσεις
Έστω Χ το πεδίο ορισμού και Y το σύνολο τιμών τότε μία συνάρτηση $$f:X\to Y$$ είναι μια αντιστοίχιση από κάθε στοιχείο του πεδίο ορισμού X σε ένα και μόνο στοιχείο του συνόλου τιμών Y. Αυτό συνήθως γράφεται $$\forall x \in X \; \exists \vert\, y \in Y : f(x)=y$$.

Η συνάρτηση λέγεται ένα προς ένα (1-1), αν οποιαδήποτε δύο διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία του πεδίου ορισμού έχουν υποχρεωτικά διαφορετικές εικόνες. Δηλαδή, για μία συνάρτηση f, οποιαδήποτε $$x_1$$, $$x_2$$,που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της,να ισχύει: αν f($$x_1$$)=f($$x_2$$) τότε $$x_1$$=$$x_2$$.
 * $$\forall x_1, x_2 \in X : f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$$

Αν επιπλέον οι απεικονίσεις του πεδίου ορισμού καλύπτουν όλο το σύνολο τιμών (για κάθε y του Y υπάρχει x του X τέτοιο ώστε y=f(x) ) τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι ένα προς ένα και επί.
 * $$\forall y \in Y\, \exists\, x \in X: y=f(x) $$

Μία ένα προς ένα και επί συνάρτηση $$\;f:X\to Y\;$$ είναι αντιστρέψιμη, και η αντίστροφή της είναι η  $$\;f^{-1}:Y\to X\;$$ με $$\,f^{-1}(y)=x\,$$ τέτοιο ώστε $$\,f(x)=y\,$$. Οι γραφικές παραστάσεις στο καρτεσιανό επίπεδο δύο συντεταγμένων, x για τον οριζόντιο άξονα και y για τον κατακόρυφο, των συναρτήσεων $$\,f\,$$ και $$\,f^{-1}\,$$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία με εξίσωση $$\,y=x\,$$.