Numerik1:05

Aufgabe 1
Benutzen Sie ein Differenzenverfahren, um die eindimensionale elliptische Randwertaufgabe


 * $$ -(a(x)u_{x})_{x}=f(x)\,\,,\,\,x \in [0,1]\,\,,\,\,u(0)=u(1)=1 $$

zu lösen. Formulieren Sie ihre Diskretisierung für ein Gitter mit variabler Schrittweite


 * $$ \Omega_{n} := \left\{ 0=x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}=1 \right\} $$

mit


 * $$ x_{i+1}=x_{i}+h_{i}\,\,,\,\,h_{i}>0. $$

Welche Ordnung hat diese Approximation, wenn beliebige Glattheit für a(x), f(x), u(x) angenommen wird?

Aufgabe 2
Diskretisieren Sie die ein-dimensionale Poisson-Gleichung gemischten Randbedingungen


 * $$ -u_{xx}=f(x) $$


 * $$ -\alpha u_{x}(0) + u(0) = \phi_{0}\,\,,\,\, \beta u_{x}(1)+u(1)=\phi_{1}\,\,,\,\, \alpha \neq 0, \beta \neq 0, $$

mit Hilfe eines Differenzenverfahrens mit konstanter Schrittweite h.

Schlagen Sie mindestens zwei (noch besser drei) verschiedene Diskretisierungen für die Randwerte (3) vor. Welche Fehlerordnung haben diese Diskretisierungen? Schreiben Sie schematisch das lineare Gleichungssystem (geben Sie auf jeden Fall die ersten und die letzten zwei Gleichungen an). (Hinweis: Um Randbedingungen, die Ableitungen oder Gradienten enthalten, zu diskretisieren, werden oft "imaginäre" Gitterpunkte außerhalb des Gebiets eingeführt, z.B. $$u_{-1} \approx u(-h) $$. Wichtig dabei ist, die Dimension des linearen Gleichungssystems und die Anzahl der Unbekannten zu berücksichtigen.

Aufgabe 3
Für ein offenes, beschränktes Gebiet $$ \Omega \in \mathbb{R}^{n} $$ und $$ u, v \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}(\overline{\Omega} ) $$ gilt der folgende Vergleichssatz: Ist


 * $$ -\Delta u(x) \leq -\Delta v(x)\,\,,\,\, x \in \Omega $$


 * $$ u \leq v \,\,,\,\, x \in \partial \Omega, $$

so folgt daraus


 * $$ u(x) \leq v(x)\,\,,\,\, x \in \overline{\Omega}. $$

Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes eine (möglichst gute) obere und untere Schranke für die Lösung u von


 * $$ - \Delta u(x) = 1 \,\,,\,\, x \in \Omega $$


 * $$ u = 0 \,\,,\,\, x \in \partial \Omega\,,,$$

mit $$ \Omega = (0,1) \times (0,1). $$