Numerik1:06

=06. Übung zur Vorlesung Numerik 1 (WS 2006/2007)=

Aufgabe 1
Transformieren Sie die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen
 * $$ -\nabla u(x, y) = f(x, y) \,\,,\,\, (x, y) \in \Omega := \left{ f(x; y)\, :\, x^{2} + y^{2} < 1 \right} $$
 * $$ u(x, y) = \varphi (x, y)\,,\, (x, y) \in \partial \Omega $$

in die Polarkoordinaten
 * $$ x = x(r, \theta) = r cos \theta\,\,,\,\, y = y(r,\theta ) = r sin \theta $$

Formulieren Sie ein Finite-Differenzen-Verfahren für die Differentialgleichung in Polarkoordinaten.

Aufgabe 2
Das Gebiet \Omega \in \mathbb{R}^{2} sei definiert als
 * $$ \Omega := (-0.5, 0.5) \times (0.5, 0.5) \backslash (0, 0.5) \times (0, 0.5) $$

Zeigen Sie, dass die Funktion (in Polarkoordinaten)
 * $$ u(r,\theta)=r^{\frac{2}{3}} \sin \frac{2 \theta - \pi }{3} $$

die Laplace-Gleichung
 * $$ \Delta u(x,y)=0 $$

auf dem Gebiet \Omega erfüllt. Wie viele stetige Ableitungen hat "u" auf \Omega ?