Numerik1:06

=05. Übung zur Vorlesung Numerik 1 (WS 2006/2007)=

Aufgabe 1
Transformieren Sie die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen
 * -\nabla u(x, y) = f(x, y) \,\,,\,\, (x, y) \in \Omega := \left{ f(x; y)\, :\, x^{2} + y^{2} < 1 \right} <\math>
 * u(x, y) = \varphi (x, y)\,,\, (x, y) \in \partial \Omega <\math>

in die Polarkoordinaten
 * x = x(r, \theta) = r cos \theta\,\,,\,\, y = y(r,\theta ) = r sin \theta <\math>

Formulieren Sie ein Finite-Differenzen-Verfahren für die Differentialgleichung in Polarkoordinaten.

Aufgabe 2
Das Gebiet \Omega \in \mathbb{R}^{2} sei definiert als
 * \Omega := (-0.5, 0.5) \times (0.5, 0.5) \backslash (0, 0.5) \times (0, 0.5) <\math>

Zeigen Sie, dass die Funktion (in Polarkoordinaten)
 * u(r,\theta)=r^{\frac{2}{3}} \sin \frac{2 \theta - \pi }{3}

die Laplace-Gleichung
 * \Delta u(x,y)=0 <\math>

auf dem Gebiet \Omega erfüllt. Wie viele stetige Ableitungen hat "u" auf \Omega ?