Μετασχηματισμός Lorentz

Μετασχηματισμός Lorentz

Οι Μετασχηματισμοί Λόρεντζ, οι οποίοι ονομάστηκαν προς τιμήν του Ολλανδού φυσικού και μαθηματικού που τους επινόησε, του Χέντρικ Λόρεντζ (Hendrik Antoon Lorentz) (1853-1928), αποτελούν τη βάση της Ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας, η οποία εισήχθη σε μια προσπάθεια να αρθούν οι αντιφάσεις ανάμεσα στις θεωρίες του Hλεκτρομαγνητισμού και της Κλασσικής Μηχανικής.

Γενικά
Υπό τους μετασχηματισμούς αυτούς, η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια σε όλα τα συστήματα αναφοράς, όπως αξιώνει η ειδική σχετικότητα. Αν και οι εξισώσεις συνδέονται με την ειδική σχετικότητα, διατυπώθηκαν πριν από αυτήν και προτάθηκαν από τον Λόρεντζ το 1904 ως εξήγηση του πειράματος Μάικελσον-Μόρλεϋ (Michelson-Morley), μέσω της συστολής του μήκους. Οι μετασχηματισμοί έρχονται σε αντίθεση με τους περισσότερο διαισθητικούς μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου, που δίνουν καλά αποτελέσματα σε μη-σχετικιστικές (χαμηλές) ταχύτητες.

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν (για παράδειγμα) για να υπολογίσουμε πώς φαίνεται η τροχιά ενός σωματιδίου από ένα Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς που κινείται με σταθερή ταχύτητα (σε σχέση με το αρχικό "ακίνητο" σύστημα αναφοράς). Αντικαθιστούν τους προγενέστερους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. Η ταχύτητα του φωτός,c, εισέρχεται σαν παράμετρος στους μετασχηματισμούς Λόρεντζ. Αν η ταχύτητα υ είναι επαρκώς μικρή σε σχέση με την c, τότε $$ v/c \to 0$$, και ανακτούμε οριακά τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου.

Εξισώσεις
Οι μετασχηματισμοί Λόρεντζ αποτελούν μια ομάδα μετασχηματισμών που χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει τις χωροχρονικές συντεταγμένες (ή γενικότερα, οποιοδήποτε τετραδιάνυσμα) από ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, $$S$$, σε ένα άλλο, $$S'$$, όπου το $$S'$$ κινείται με σχετική ταχύτητα $${\upsilon}$$ ως προς το $$S$$ κατά μήκος του χ-άξονα. Αν ένα γεγονός έχει χωρο-χρονικές συντεταγμένες $$(t, x, y, z)$$ στο $$S$$ και $$(t', x', y', z')$$ στο $$S'$$, τότε αυτές συσχετίζονται με βάση τους μετασχηματισμούς Λόρεντζ με τον ακόλουθο τρόπο:
 * $$t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)$$
 * $$x' = \gamma \left(x - v t \right)$$
 * $$y' = y$$
 * $$z' = z$$

όπου το
 * $$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

καλείται παράγοντας Λόρεντζ και $$c$$ είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Οι Μετασχηματισμοί υπό μορφή πινάκων
Οι παραπάνω τέσσερεις εξισώσεις μπορούν να γραφούν συμπαγώς σε μορφή πίνακα ως εξής

\begin{bmatrix} t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c^2} \gamma&0&0\\ -v \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\\x\\y\\z \end{bmatrix} $$ ή εναλλακτικά ως

\begin{bmatrix} c t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\ -\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\x\\y\\z \end{bmatrix}. $$ Η πρώτη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι φαίνεται εύκολα ότι ανάγεται στους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου στο όριο $$ \upsilon /c \to 0$$. Η δεύτερη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι δείχνει σαφώς τη διατήρηση του χωροχρονικού μήκους $$ds^2 = (cdt)^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$, που είναι μια θεμελιώδης αναλλοίωτη ποσότητα της ειδικής σχετικότητας.

Οι εξισώσεις αυτές ισχύουν μόνο στην περίπτωση που η ταχύτητα $${\upsilon}$$ βρίσκεται κατά μήκος του χ-άξονα. του συστήματος $$S$$. Σε περιπτώσεις όπου η $${\upsilon}$$ δε δείχνει κατά μήκος του χ-άξονα του $$S$$, είναι συνήθως ευκολότερο να κάνουμε μια περιστροφή του συστήματος, ώστε να φέρουμε την $${\upsilon}$$ κατά μήκος του x-άξονα του $$S$$, παρά να μπλέξουμε με τη γενική μορφή του μετασχηματισμού Λόρεντζ.

Για μια προώθηση (boost) σε τυχούσα κατεύθυνση, είναι βολικό να αναλύσουμε το χωρικό διάνυσμα $$\mathbf{x}$$ σε συνιστώσες κάθετες και παράλληλες προς την ταχύτητα $$\mathbf{\upsilon}$$: $$\mathbf{x}=\mathbf{x}_\perp+\mathbf{x}_\|$$. Μόνο η συνιστώσα $$\mathbf{x}_\|$$ στην κατεύθυνση της $$\mathbf{\upsilon}$$ μεταβάλλεται κατά τον παράγοντα $$\gamma$$:


 * $$t' = \gamma \left(t - \frac{\upsilon x_\|}{c^{2}} \right)$$
 * $$\mathbf{x}' = \mathbf{x}_\perp + \gamma \left(\mathbf{x}_\| - \mathbf{\upsilon} t \right)$$

Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν σε μορφή πίνακα ως



\begin{bmatrix} c t' \\ \\ \mathbf{x}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{\mathbf{\upsilon^T}}{c}\gamma\\ \\ -\frac{\mathbf{\upsilon}}{c}\gamma&\mathbf{1}+\frac{\mathbf{\upsilon}\cdot\mathbf{\upsilon^T}}{\upsilon^2}(\gamma-1)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\ \\ \mathbf{x} \end{bmatrix} $$.

Ένας ακόμη περιοριστικός παράγοντας του παραπάνω μετασχηματισμού είναι ότι η "αρχή" των αξόνων των δύο συστημάτων πρέπει να συμπίπτει για $$t = t' = 0$$. Αυτό σημαίνει ότι το "γεγονός" με συντεταγμένες $$(0, 0, 0, 0)$$ στο σύστημα $$S$$ πρέπει να είναι το ίδιο με το "γεγονός" με συντεταγμένες $$(0, 0, 0, 0)$$ στο $$S'$$. Μια γενίκευση των μετασχηματισμών Λόρεντζ που χαλαρώνει αυτή την απαίτηση είναι οι μετασχηματισμοί Πουανκαρέ.

Γενικότερα, αν &Lambda; είναι οποιοσδήποτε 4x4 πίνακας τ.ω. &Lambda;Tg&Lambda;=g, όπου T είναι ο ανάστροφος του πίνακα και
 * $$g=

\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$$ και X είναι το 4-άνυσμα που περιγράφει τις χωροχρονικές μετατοπίσεις, τότε ο $$X\rightarrow \Lambda X$$ είναι ο πιο γενικός μετασχηματισμός Λόρεντζ. Οι ορισμένοι μ' αυτό τον τρόπο πίνακες &Lambda; αποτελούν μια αναπαράσταση της ομάδας SO(3,1), γνωστή επίσης και ως ομάδα Lorentz.

Ιστορία
Ο Λόρεντζ ανακάλυψε στα 1900 ότι οι μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτες τις Eξισώσεις Maxwell. Ωστόσο, ο Λόρεντζ δεχόταν την υπόθεση του αιθέρα· Ήταν ο Άλμπερτ Αϊνστάιν που πρώτος ανέπτυξε τη Θεωρία της Σχετικότητας και θεμελίωσε τους μετασχηματισμούς σε στέρεο φυσικό υπόβαθρο. Παρά το γεγονός αυτό, θεωρούσε ουσιαστικά το Λόρεντζ "πατέρα" της Σχετικότητας.

Οι μετασχηματισμοί Λόρεντζ δημοσιεύτηκαν για πρώτη φορά το 1904, αλλά ο φορμαλισμός τους ήταν προς το παρόν ατελής. Ο Henri Poincaré)'', Γάλλος μαθηματικός, αναθεώρησε τον φορμαλισμό του Λόρεντζ για να κάνει τις τέσσερεις εξισώσεις ένα συνεκτικό, αυτοσυνεπές σύνολο, όπως τις ξέρουμε σήμερα.