Σύστημα Συντεταγμένων

Σύστημα Συντεταγμένων

Coordinate System

Στοιχείο της Γεωμετρίας με εφαρμογές στην Φυσική.

Ορισμός
Είναι ένα σύνολο αξόνων, τεμνομένων, σε ένα σημείο (την αρχή Ο) που χρησιμοποιείται στον προσδιρισμό της θέσης ενός σημείου ενός n-διάστατου Χώρου.

Για τον προσδιορισμό αυτόν χρησιμοποιούνται, συνήθως, γωνίες και αποστάσεις.

Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων
Το Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων (Cartesian Coordinate System) (or "Rectangular Coordinate System"), καθορίζει την θέση ενός σημείου, του τρισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου, με την βοήθεια τριών αποστάσεων από τους άξονες.

Καμπυλόγραμμο Σύστημα Συντεταγμένων
Το Καμπυλόγραμμο Σύστημα Συντεταγμένων (Curvilinear Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείο, του τρισδιάστατου καμπύλου (curved) Χώρου, με την βοήθεια τριών γωνιών.

Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων
Το Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων (Polar Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείου, του δισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου (δηλ. σε ένα επίπεδο), με την βοήθεια μίας γωνίας και μίας απόστασης από την αρχή Ο.

Ο Μετασχηματισμός από τις Πολικές Συντεταγμένες $$(r, \theta )$$ στις Καρτεσιανές Συντεταγμένες $$(x, y)$$ είναι:


 * $$x = r \cos \theta \,$$
 * $$y = r \sin \theta \,$$

όπου:
 * r είναι η ακτινική απόσταση από την αρχή (pole) (Ο), and
 * θ είναι η δεξιόστροφη (anticlockwise) (counterclockwise) γωνία from the 0° ray (ή αλλιώς πολικός άξονας), which is the section of the Cartesian x-axis from the origin eastward.

Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων
Το Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων (Cylindrical Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείο του τρισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου (δηλ. σε ένα επίπεδο) με την βοήθεια μίας γωνίας, μιάς απόστασης από την αρχή Ο, και μίας απόστασης από άξονα.

Ο Μετασχηματισμός από τις Κυλινδρικές Συντεταγμένες $$(r, \theta, z)$$ στις Καρτεσιανές Συντεταγμένες $$(x, y, z)$$ είναι:


 * $$\left[\begin{matrix}

x & = & \rho\cos\phi \\ y & = & \rho\sin\phi \\ z & = & z \end{matrix}\right.$$

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:


 * $$\left[\begin{matrix}

\rho & = & \sqrt{x^2 + y^2} \\ \phi & = & \operatorname{atan2}(y, x) \\ z & = & z \end{matrix}\right.$$

Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων
Το Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων (Spherical Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείο του τρισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου (δηλ. σε ένα επίπεδο) με την βοήθεια δύο γωνιών και μιάς απόστασης από την αρχή Ο.

Ο Μετασχηματισμός από τις Σφαιρικές Συντεταγμένες $$( r, \theta, \phi )$$ στις Καρτεσιανές Συντεταγμένες $$( x, y, z )$$ είναι:


 * $$\left[\begin{matrix}

x & = & r\sin\theta\cos\phi \\ y & = & r\sin\theta\sin\phi \\ z & = & r\cos\theta \end{matrix}\right.$$

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:
 * $$\left[\begin{matrix}

r & = & \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta & = & \arccos(z / r) \\ \phi & = & \operatorname{atan2}(y, x) \end{matrix}\right.$$

Αναπαραστάσεις Διανυσμάτων
Ένα βαθμωτό μέγεθος δεν επηρρεάζεται από τα χρησιμοποιούμενα συστήματα συντεταγμένων, δηλ. παραμένει αναλλοίωτο.

Ένα διάνυσμα όμως έχει διαφορετικές αναπαραστάσεις: