Cohomlogie

Cohomologie

Modules gradués
Dans ce chapite, on reprend, dans un autre langage, la notion de de somme directe dans la catégorie des modules que l'on développe jusqu'au concept de complexe.

Soit $$K$$ un anneau unitaire, pas nécessairement commutatif. Rappelons qu'un module sur $$K$$, ou un $$K$$-module, a la même définition que celle d'un espace vectoriel à ceci près que l'anneau des scalaires $$K$$ n'est pas supposé être un corps. Comme l'élément $$a_1$$ n'est pas forcément simplifiable, l'équation linéaire nulle $$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$$, ne permet pas toujours d'exprimer le terme $$x_1$$ en fonction des autres. En particulier, ce n'est pas parce qu'une famille de vecteurs est liée qu'on peut en extraire une famille génératrice, donc un module ne possède pas forcément de base. Par contre, tout théorème ou toute propriété des espaces vectoriels qui ne fait pas appel à l'existence, explicite ou implicite, d'une base reste valable sur les modules; en particulier celle de somme directe.

Graduations
Une graduation sur un module $$E$$ est une décomposition en somme directe $$X=\bigoplus _{i \in \mathbb{Z}} E_n$$ de sous-modules indexés par $$\mathbb{Z}$$. On dit aussi que $$E$$ est gradué par la famille $$\left( E \right)_{i \in \mathbb{Z}}$$.

Le sous-module $$E_i$$ est appelé sous-espace homogène de degré $$i$$ et ses éléments, élements homogènes de degré $$i$$. Par définition, tout élément $$x \in E$$ s'écrit de manière unique comme somme $$x = \sum_i x_i$$ d'éléments homogènes $$x_i \in E_i$$ appelés ses composantes homogènes. Le degré de $$x \in E$$ est degré de sa composante homogène non nulle de plus haut degré.

La décomposition en éléments homogènes défini une famille de projecteurs supplémentaires $$pr_i(x)=x_i$$, c'est-à-dire une famille d'applications linéaires $$pr_i:E \rightarrow E_i$$ vérifiant $$pr_i^2=pr_i$$, $$pr_ipr_j=0$$ si $$i \not =j$$ et $$\sum pr_i=Id_E$$.

Réciproquement, une famille de projecteurs vérifiant ces propriétés définit une graduation $$E=\bigoplus_i p_i(E)$$.

Exemples

 * 1) Tout un module $$E$$ est gradué par la graduation triviale, définie par $$E_0=E$$ et $$E_i=0$$ pour $$i \not = 0$$.
 * 2) Soit $$E=\bigoplus _{i \in \mathbb{Z}} E_i$$ un module gradué. Pour tout $$ i \in \mathbb{Z}$$, on pose $$E^i=E_{-i}$$, définissant ainsi une nouvelle graduation sur le module $$E$$. Elle est appelée graduation opposée et on note $$E^{\bullet}$$, le module $$E$$ muni de cette nouvelle graduation.
 * 3) L'algèbre $$K[X]$$ des polynômes à coefficients dans $$K$$ est un module gradué par le degré (habituel) des polynômes. Les éléments homogènes sont les monômes $$a_nX^n$$ et la décomposition en composantes homogènes n'est autre que l'écriture $$f(X)=a_nX^n+\cdots + a_1X^1+a_0$$ d'un polynôme en somme de monômes.  Le degré d'un polynôme est toujours positif. Un module gradué dont tous les sous-espaces homogènes de degré négatifs sont nuls, $$X_{-n}=0$$, est dit à degrés positifs.
 * 4) L'algèbre $$k(X)$$ des fractions rationelles en une indéterminée, est graduée par le degré de la fraction $$\textstyle deg({f \over g}) = deg(f)-deg(g)$$. Cet espace a des degrés négatifs aussi bien que positifs.
 * 5) L'algèbre $$K[X,Y,\cdots ,Z]$$ des polynômes en plusieurs indéterminées à coefficients dans $$K$$ peut être gradué de nombreuses manières.  Elle est gradué par le degré partiel, défini comme le degré pour une indéterminée donnée, par exemple $$X$$. Ceci revient à la considérer comme l'algèbre $$A[X]$$ des polnômes à coefficients dans l'algèbre $$A=K[Y,\cdots ,Z]$$ des polynômes en $$n-1$$ indéterminées.  Lorsque la graduation n'est pas précisée, on considère généralement celle qui est définie par le degré total, somme des degrés partiels : $$deg\left(aX^iY^j \cdots Z^k\right) = i+j+\cdots +k$$. Les éléments homogènes pour cette graduation, sont les polynômes homogènes $$\sum_{i+j+\cdots+k=n}a_{i,j,\cdots,k}X^iY^j \cdots Z^k$$, sommes de monômes de même degré total. On les reconnaît facilement, car ils sont caractérisés par la relation $$f(\lambda X,\lambda Y, \cdots, \lambda Z)= \lambda^nf(X,Y,\cdots,Z)$$, d'où le vocabulaire homogène.  On remarquera que les sous-espaces homogènes croissent rapidement, car $$dim\,E_n=p^n$$ s'il y a $$p$$ indéterminées.

Sous-modules gradués
Soit $$E=\bigoplus _{i \in \mathbb{Z}}E_i$$ un module gradué, et $$F \subset E$$ un sous-module de $$E$$. On dit que $$F$$ un sous-module gradué de $$E$$, si les composantes homogènes $$y_i$$ de tout élément $$y \in F$$ sont dans $$F$$.

Pour cela, il suffit de vérifier que $$F$$ est la somme $$F=\sum F_i$$ de la famille des $$F_i = F \cap E_i$$. Cette somme est alors directe $$F=\bigoplus F \cap E_i$$. La graduation ainsi définie s'appelle graduation induite par $$E$$ sur $$F$$.

Lorsqu'il en est ainsi, le module quotient $$E/F$$ est gradué par les $$(E/F)_i = E_i/F_i = E_i/(F \cap E_i) \simeq (E_i+F)/F$$, appelée graduation quotient de $$E$$ par $$F$$.

Exemples

 * 1) Le sous-module $$E_0$$ formé des éléments homogènes de degré 0 est un sous-module gradué de tout module gradué $$E$$.  Comme,  $$E_i/E_0 = 0$$, si $$i=0$$ et $$E_i/E_0 = E_i$$, si $$i \not= 0$$, le module gradué quotient s'identifie au module $$E/E_0 \simeq E^* = \bigoplus_{i \not = 0} E_e$$.
 * 2) Le sous-module $$E_{+}=\bigoplus_{i\ge 0}E_i$$ (resp. $$E_{-}=\bigoplus_{i\le 0}E_i$$) engendré par les éléments homogènes de degrés positifs (resp. négatifs) est un sous-module gradué de tout module gradué $$E$$.  Son quotient s'identifie au sous-module gradué $$E_{-}^*=\bigoplus_{i<0}E_i$$ (resp. $$E_{+}^*=\bigoplus_{i<0}E_i$$) engendré par les éléments de degrés strictement négatifs (resp. strictement positifs).  Notons encore la décomposition $$E=E_{+}^* \oplus E_{0} \oplus E_{-}^*$$ en sous-espaces de degrés positifs, nul et négatifs.
 * 3) Considérons une algèbre $$K[X]$$ de polynômes.Les multiples $$f \cdot K[X]$$ d'un polynôme $$f=f(X)$$ est un sous-module de $$K[X]$$. Mais les composants homogènes d'un multiple de $$f$$, c'est-à-dire les monômes dont il est composé, ne peuvent être des multiples de $$f$$ que si $$f$$ est lui-même un mônome. En d'autres termes, $$f \cdot K[X]$$ n'est un sous-module gradué de $$K[X]$$ que si $$f=aX^p$$ est un monôme. Dans ce cas, $$f \cdot K[X]$$ s'identifie au sous-module des polynômes de degré plus grand ou égal $$p$$ et le quotient $$K[X]/f \cdot K[X]$$ à celui des ploynômes de degré strictement inférieur à $$p$$.  Nous verrons plus loin que cette situation est très fréquente.

Homomorphismes gradués
Soient $$E=\bigoplus _{i \in \mathbb{Z}}E_i$$ et $$F=\bigoplus _{i \in \mathbb{Z}}F_i$$ deux modules gradués, et $$f:E \longrightarrow F$$ une application linéaire. On dit que $$f$$ est gradué de degré $$p$$ (ou parfois simplement de degré $$p$$ si $$f\left(E_i\right) \subset F_{i+p}$$, pour tout indice $$i$$ de la graduation.

Donner une telle application linéaire revient à donner la famille d'applications linéaires $$f_i:E_i \longrightarrow F_{i+p}$$ obtenues par restriction.

On a alors $$Ker\,f_n=Ker\,f \cap E_i$$ et $$Im\,f_n=Im\,f \cap F_{i+k}$$. On voit ainsi que le noyau $$Ker\,f$$ et l'image $$Im\,f$$ de $$f$$ sont des sous-modules gradués de $$E$$ et de $$F$$ respectivement. De plus, les isomorphismes obtenus par passage au quotient $$\overline{f}_i:E_i/Ker\,f_i \longrightarrow Im\,f_i$$ sont les composantes homogènes de leur somme $$\overline{f}=\sum_i \overline{f}_i$$ qui défini un isomorphisme $$\overline{f}:E/Ker\,f \longrightarrow Im\,f$$ gradué de même degré que $$f$$.

Il est clair que la somme de deux application linéaires de degrés $$p$$ est de degré $$p$$ et que la composée d'une application linéaire de degré $$p$$ avec une application linéaire de degré $$q$$ est une application linéaire de degré $$p+q$$.

Notons $$D_p$$ le sous-module de $$Hom(E,F)$$ formé des applications linéaires de $$E$$ dans $$F$$ de degré $$p$$. La somme $$\sum_p D_p$$ est directe. On note $$Homgr(E,F)$$ le module gradué $$\bigoplus_p D_p$$. Ainsi, une application linéaire graduée apparait comme une somme d'application graduées de degré $$p$$.

WIP Exemples

 * 1) La projection $$pr_i:E \longrightarrow E$$ est une applications linéaires graduées de degre $$0$$. Son image est le sous-espace homogène $$Im\,pr_i=E_i$$ et son noyau le sous-espace $$Ker\,pr_i=\bigoplus_{j \not = i}E_j$$, de sorte que le quotient s'identife à $$E/Ker\,pr_i \simeq E_i = Im\,pr_i$$.  L'isomorphisme qui identifie ces deux modules (trivialement) gradués n'est autre que l'application obtenue en passant au quotient $$\overline {pr_i}:E/Ker\,pr_i \longrightarrow E_i$$. Grace à cette identification, $$pr_i = \sum ({pr_i})_j$$ devient l'application dont les composantes homogènes sont $$({pr_i})_i=(\overline {pr_i})=Id_{E_i}$$ et $$({pr_i})_j=0$$ pour $$j \not = i$$.  Ceci signife que $$pr_i:E \longrightarrow E$$ est obtenu en prolongeant par $$0$$ l'application identique de $$E_i$$. Comme $$Id_E = \sum_i pr_i$$ Cela signifie aussi que les $$pr_i$$ sont les composantes homogènes de l'identité.
 * 2) Pour tout scalaire $$\lambda \in K$$, l'homothétie $$f(x)=\lambda x$$ est une application linéaire graduée de degré 0.  Plus généralement, pour toute famille $$\lambda_i \in K$$ de scalaires, la formule $$f(x_i)=\lambda_i x_i (x_i \in E_i)$$ défini une application linéaire graduée de degré 0 dont les composantes homogènes sont les homothéties
 * 3) En particulier, l'application degré $$d=deg=\sum i \cdot pr_i$$ définie par $$d(\sum x_i) = \sum i x_i$$. Elle est linéaire, graduée de degré $$0$$ et agit sur chaque sous-espace homogène comme l'homothétie $$d_i(x) = i \cdot x, x \in E_i$$ de rapport égal au degré du sous-espace.  Inversement, si $$d$$ est un endomprphisme diagonalisable d'un module $$E$$ dont les valeurs propres sont entières, les sous-espaces propres $$E_i=\left\{x \in E | d(x)=i\cdot x\right\}$$ définissent une graduation $$E=\bigoplus E_i$$.