Teorema del punto fijo de Banach

= Teorema del punto fijo de Banach en $$\mathbb{R}$$ =

Conceptos preliminares
Sea $$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ una función.


 * Diremos que $$f$$ es contractante si existe un $$L \in (0,1)$$ tal que para todo $$x,y \in \mathbb{R}$$, $$ |f(x) - f(y)| \leq L \cdot |x-y| $$
 * Diremos que $$\bar{x} \in \mathbb{R}$$ es un punto fijo de $$f$$ ssi $$f(\bar{x})=\bar{x}$$

Enunciado
Sea $$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ una función contractante. Entonces $$f$$ posee un único punto fijo.

Ruta propuesta para la demostración
Para demostrar la existencia del punto fijo:
 * 1) Tomemos un $$x_0 \in \mathbb{R}$$ cualquiera, y definamos la sucesión $$( x_n )$$ mediante la recurrencia $$x_{n+1} = f(x_n)$$
 * 2) Demuestre que para todo $$n\geq1$$, $$|x_{n+1} - x_n| \leq L\cdot|x_n - x_{n-1}|$$
 * 3) Usando desigualdad triangular, concluya que para todo $$n\geq1$$ y $$q\geq1$$ se tiene que $$|x_{n+q} - x_n| \leq L^q\cdot|x_n - x_{n-1}|$$
 * 4) Concluya que para todo $$n\geq1$$ y $$q\geq1$$ se tiene que $$|x_{n+q} - x_n| \leq L^{q+n-1} \cdot|x_1 - x_0|$$
 * 5) Utilizando el hecho que $$L \in (0,1)$$ y que $$|x_1-x_0|$$ es un valor fijo, muestre que la sucesión $$( x_n )$$ es de Cauchy
 * 6) Concluya que $$( x_n )$$ converge, y llamemos $$ \bar{x} $$ a su límite.
 * 7) A partir de la definición de función contractante, demuestre que $$f( x_n ) \longrightarrow f(\bar{x})$$ cuando $$n \rightarrow \infty$$
 * 8) Concluya que $$\bar{x}$$ es un punto fijo de $$f$$

Para demostrar la unicidad del punto fijo:
 * 1) Suponga que $$\bar{x}_1,\bar{x}_2$$ son dos puntos fijos de $$f$$. Evalúe la función en cada uno de ellos y utilizando la definición de ser punto fijo, concluya que son iguales